如何证明素数个数无限个
证明
假若素数只有有限多个，设最大的一个是P，从2到P的全体素数是：
2，3，5，7，11，……，P。
所有的素数都在这里，此外再没有别的素数了。
现在，我们来考察上面从2到P的全体素数相乘、再加上1这个数，设它是A，即
A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一个大于1的正整数，它不是素数，就是合数。
如果A是素数，那么，就得到了一个比素数P还要大的素数，这与素数P是最大素数的假设矛盾。
如果A是合数，那么，它一定能够被某个素数整除，设它能被g整除。
因为A被从2到P的任何一个素数除，余数都是1，就是都不能整除，而素数g是能整除A的，所以素数g不在从2到P的全体素数之中。这说明素数g是一个比素数P更大的素数，这又与P是最大的素数的假设矛盾。
上面的证明否定了素数只有有限多个的假定，这就证明了素数是无穷多个。
补充资料
定义
若大于 1 的整数 p 的所有正因子只有 p 和 1，则称其为质数或素数（prime）； 否则称其为 合数（composite number）。
合数的性质
- 所有大于2的偶数都是合数。
- 所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。
- 除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。
- 所有个位为4，6，8的自然数都是合数。
- 最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。
- 每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。(算术基本定理)
- 对任一大于5的合数(威尔逊定理):
( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )