【微积分的本质|笔记】极限
微积分的本质
P7 极限
- 所谓极限，本质来说就是一个数值逼近另一个数值
- 但以下几点给出了我们在学习积分之前必须探究“极限”的理由
①导数的正式定义
②极限的(ε，δ)定义
③洛必达法则
#1 导数的正式定义
- 导数的正式定义
说明：
①要将定义式和“某一点邻域间变化率的近似”这样的直观概念联系起来。
②虽然在直观说明时我们常用dx符号来表示一个有限的微小变化量，但是在导数定义式中我们常用Δx或者h来代替，因为dx本身就已经包含了“无穷小”的概念。
- 无穷小悖论的攻克
（1）无穷小悖论
- 有关无穷小悖论的详细描述见下面链接处所指向的博文。
【微积分的本质|笔记】有关导数
- 这里再简单描述一下，所谓无穷小悖论，就是在某一个瞬时时刻，变化率是没有意义的。我们想要求任何情景下的变化率，必须都要给定一个邻域区间，哪怕这个区间有限小都可以。但我们无论如何都求解不出某一个点的变化率。
（2）攻克
引入极限就是为了能够攻克无穷小的悖论，用“具体有限小的变化量来描述导数”这一直观印象和导数的正式定义是相互等价的。
在定义式中，右边的h始终只是代表一个有限小的变化量；而左边的dx则时刻包含着趋近于0的思想。
我们在讨论极限的时候，讨论的是当变量逼近于零的时候的影响，而不是无穷小的变化量的影响。
#2 极限的(ε，δ)定义
- (ε，δ)方法的直观理解
将取值范围在极限点附近收缩，然后观察函数值是否收缩，以及收缩后的范围的方法，就称为极限的(ε，δ)定义。
（1）极限存在
如下图中，在x=0的附近，当自变量的取值无限往0附近进行收缩，函数值的取值也会逐渐收缩至12.
在这种情况下，就说明该函数在x=0处有极限，且极限值为12.
（2）极限不存在
如下图中，根据函数图像，我们首先知道在x=0处函数值有了突变。
在x=0处从两端不断向中间收缩自变量的取值，观察此时因变量的取值，不能收缩到特定的值。
我们就说该函数在x=0处极限不存在
在分析极限不存在的时候，我们常常还会分别分析某一间断点的左右极限。当左右极限趋向的值不一致的时候，我们也说这个点处的极限不存在。
- 极限的(ε，δ)定义-正式版
（1）定义文字描述
p.s. 下图摘于百度文库
函数、极限、连续重要概念公式定理
对上图的解释：
比如要说明当x→x0时，f(x)的极限为A，就说明对于任意一个ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ，恒有|f(x)-A|<ε
（2）极限存在时的图像表示
如上图，要证x在0处极限值为12
- 首先确定一个ε（保证大于0即可，任意确定），得到了【12-ε，12+ε】这样一个因变量区间Y
- 然后，根据前文的取值，你总能确定一个δ（同样大于0，一定程度上可以任意取，但其取值受到ε的制约和影响），得到了【-ε，+ε】这样一个自变量区间X。
- 而极限如果存在，就是在这个自变量区间X内的所有值，其对应的函数值都可以保证在函数值区间Y内。
要注意上文描述的ε、δ的任意性和制约性，且极限存在的前提在于无论ε多么小，总能找到与其对应的δ的值。
（3）极限不存在时的图像表示
此处的分析不再赘述。
根据图像来看，就是无法对于任取一个ε，都能找到相应的δ，使得自变量的δ邻域内的值都满足相应要求。
#3 洛必达法则
指导思想：
当极限帮助我们确定了导数的定义之后，导数还可以反过来帮助我们求解极限。
此处洛必达法则的讨论针对于求解0/0型的极限式
- 特例分析
（1）问题描述
求解上图中的极限式
（2）问题求解
①思路1：无限近似
在1附近取一个很近邻的可计算的点，来计算相应的比值。
②考虑对不能求解的点x处的某一微小变化量处的比值
原理分析：因为在x处分子f分母g对应的函数值都为0，所以对于自变量取一个dx，分子分母求出对应的函数变化量df,dg，就是其在x+dx处的函数值。
用此处的函数值来近似代替x处的函数值，当dx无限小的时候，这个近似就变得十分精确了。
对于上面的分式而言，dx取的越小，这些变化量就越精确
- 普适分析
（1）问题描述
对于两个函数f(x)和g(x)，他们在x=a处的函数值都为0，且在x=a处均可导，先要求计算在x=a处，f(x)/g(x)的极限值。
（2）问题求解
①因为f(x)和g(x)在x=a处是可导的，因此将两函数在x=a处的曲线放大，应该是可以近似得到两条直线，两条直线分别为f(x)和g(x)在x=a处的切线。
②虽然f和g在x=处的极限不能求解，但是可以考虑在x=a的某一个dx变化量处相应的函数值。
而根据①的分析，在x=a+dx处的函数值，近似可以看成是落在切线上的点。
从而就能推出上图中的最终公式，比值的极限式就等于分子分母在x=a处分别求导数再相比。
同样地，变化量dx取的越小，这个比值就越精确，所以这个比值就等于极限值的精确值。
- 一个奇妙的联系
- 首先要明确能够推导出洛必达法则，是建立在我们已经定义了导数和极限的基础上。
- 但是反过来看导数的定义式，这不就是一个0/0型的极限式求解嘛！！！
看起来似乎我们可以用洛必达法则来推导出新的导数定义式的值。- 但是那样就本末倒置了哦~
建议如果没有看前几篇有关导数和求导法则直观理解的博文，读者可以去看一看，因为这个视频作者的很多理解真的很绝！
后记
本文是观看B站《微积分的本质》时笔记记录所做，对内容和格式有问题的朋友可以私信或评论交流~
原视频指路——
微积分的本质-P7 极限