微积分的本质

P10 泰勒级数

“我们学习泰勒级数，很大程度上就是为了在某个点附近，用多项式函数去近似其他函数”

原因就是多项式函数比别的函数（比如指数函数等）要友好得多：方便计算、方便求导和积分

#1 从近似的观点理解余弦函数cosx的泰勒式

1. 目标：在x=0附近找到一个合适的二次多项式P(x) = a + bx + cx²使其可以较好地近似cosx
   
2. 在x=0处多项式函数和cosx的函数值要一致

对于多项式P(x)= a+bx+cx²，代入x=0，得到P(0) = a = 1

在确定了常数项为1后，可以在脑海中想象这样一个动态的二次曲线，无论形状怎样改变，上下开口如何翻转，总是可以保证在x=0处的函数值为1。

3. 让多项式函数在x=0处的一阶导数和cosx的一阶导数保持一致

如果在x=0处让近似函数和原函数的一阶导数保持一致，可以尽量使得两个函数在x=0处的邻域附近也具有一些偏差。

对于两个函数分别求导，使其在x=0处的导数值保持一致，求得一次项的系数为0.

根据弯曲度（或者也可以说是开口方向），cox的图像在x=0处是开口向下的，也说明在x的邻域附近，cosx的导数是越来越小的，说明该近似函数也要保持相同的趋势——即二阶导数应该是小于0的。

从而可以求解出二次项前的系数为-（1/2）

5. 检验

利用前面推导出来的cosx在x=0处的近似值来求解响应的函数值，进行比较。

6. 近似的模式

回过头来看之前的近似模式：我们先是根据经验选择了一个二次多项式进行模拟，二次多项式含有三个未知参数。

而在上述的近似过程中，每一个未知数分别代表了某一阶导数的近似程度。

按照上面 “一个未知参数对应某一阶导数” 的思想，我们可以假想用一个三次多项式（含有四个未知数）的模型进行模拟，这样在求解三阶导数的近似的时候，因为coxs的三阶导数在x=0处为0，从而也要求该多项式函数的三阶导数值为0，从而求解得到三次项的系数为0.

故而得到一个结论，“1-（1/2）x²”这个项不仅是cosx的最佳二次近似函数，也是cosx的最佳三次近似函数。

同理，我们也可以设想出一个四次多项式进行模拟近似，根据四阶导数的近似推导，得到相应的cosx的最佳四次近似函数。

#2 探究泰勒近似项的一般规律

1. 系数的阶乘项

系数呈现阶乘特点，是对高阶多项式进行高阶求导的必然结果。

也正因为此，对于近似多项式的第i次式进行求解的时候，第i次式的系数并非就是原函数的i阶导的值，而应该是i阶导的值再除以i的阶乘，以抵消高阶求导时的阶乘项效应。

2. 往一个已知的低阶近似式中添加高阶项，并不会影响低阶项的系数和项。

因为我们求解的都是在x=0附近的近似表达式，对于添加的高阶项求较低次的导的时候，该高阶项的导数总会带有x的相关因子，在x=0的情况下总是为0.

“所以多项式任意n阶的导数在x=0时的值，都由唯一的一个系数来控制。”

那么如果并非在x=0这一点处进行近似呢？

比如说在x=π这一点需要进行近似，那么将原来的x整体代换成(x-π)也是具有同样的性质的。


这样的代换对于x=x0任意的一点均是通用的。

3. 求导近似的本质

每一项对应于一阶导数的近似

这样的做法：实质是将函数在某一点的导数值的信息转换成该点附近的函数值的信息。

毕竟，一个函数的各阶导数本质上就是体现该点附近的单调性、凹凸性等局部性质。

#3 泰勒多项式的一般定义

1. 泰勒展开式的一般形式

按照前面说的“将某一点处的导数值信息转换成该点附近的函数值信息”的想法，我们如果知道了一个任意函数的n阶导数的值，那么相当于我们就获知了很多该任意导数在该点附近的相关信息。

利用这些信息，按照所谓“模式”进行近似多项式构造的过程就是泰勒近似，构造出来的近似多项式就是泰勒多项式。


上图展示的是在x=0处这一点的近似，若要是在任意点x=a处的近似，整体代换x即可。如下图。

“改变a的值就可以调整多项式函数在哪里近似原始函数”

2. 泰勒多项式二次项的几何解释

可以把一个二次泰勒多项式的近似过程看成是近似求解某函数图像下的面积近似。

假设已知一个函数f(x)，只固定左边边界，右边边界可以x=x0可以进行移动，现在求解右边界对应在x处的面积情况。
可以先求解在x=a处的面积，然后要多余的面积（如下图）划分成一个长条矩形和一个小三角形。

注意f(x)函数表示的意义就是面积，图像上某一点的函数值就是该函数对应点的导数值
（这一点可以参考前面几节的笔记【微积分基本定理】进行理解）。

#4 泰勒多项式的应用

1. e^x的泰勒多项式
   
2. 泰勒级数

当我们开始拓展思维，思考是否可以让泰勒多项式延伸到无穷多项，在无穷项得到情况下，是否近似依然成立？

当具有无穷项，在数学中我们成为【级数】，而把一个式子累加无穷项相应就称为【泰勒级数】。

在现实生活中，“累加无穷项”这一表达其实是没有意义的，因为无论采用何种工具，永远都只能对有限项进行累加和结果验证。

但当我们不断增加累加的项数，得到的结果也开始逼近某一个数值时，我们就说【级数“收敛”到那个数值】

把“等于”的关系进行推广，当某个级数收敛于某个数值，我们也可以表达成该级数和就等于该数值。

3. e^x泰勒级数的收敛

我们在推导泰勒多项式的时候曾说过，当用x表达时，我们只能近似x=0附近的某些值；当用x-a来表达时，我们也只能近似x=a附近的值。

但是针对e^x的近似式子，我们可在任意范围内取值，都可以得到良好近似。

4. 对数函数的泰勒级数
   

只能在特定的范围内有良好近似，超过了该范围，则再也无法收敛。

根据上面的描述，对于每一个泰勒级数，都有其相应的可以进行收敛的取值范围，我们把这个范围就称作【泰勒级数的“收敛半径”】。

后文

1. 强调

在本篇笔记中需要记住的一个数学直觉——“泰勒级数就是利用函数某单个点的导数，来近似这个点附近函数的值”。

2. 本文系在观看B站公开课《微积分的本质》中的记录笔记，关于笔记的格式和内容有问题或建议的朋友欢迎评论区或私信交流。

3. 原链接指路