【微积分的本质|笔记】指数函数求导
微积分的本质
P5 指数函数求导
- 本节从指数函数的实际意义出发，通过代数运算，推导出指数函数的一般性质
- 从而引出e的定义，理解所谓“指数函数”的形式的可行性，以及神秘的常数。
#1 从实际角度看f(x) = 2x
- 把2t这个函数看成是随着时间t按照比例增长的人口数量
p.s. 这里如果把2t看成是人口数量，那么函数整个还是比较离散的概念。为了后续按照导数的定义，使得微小变化量有实际意义，往往也会采取将函数值看成是人口总重量。
- 定性求解dM/dt（也就是人口重量的微小变化量除以时间的微小变化量）
①先来考虑单天的微小变化量的比值
如下图，考虑从第三天到第四天的微小变化。第三天人口总重为23=8，第四天人口总重为24=16，所以dM=8，而dt=1.
总的来说，多进行几次推导计算（比如从第四天到第五天，增长了16，第五天到第六天增长了32…），不难发现：每天的增长率就等于当天开始时π酱的数量。
于是，做出一个合理猜想——2t的导数等于该函数本身。
猜想的不合理性：虽然整个趋势预测的并没有错，但是所谓导数的定义，是要在有限小的一个变化趋势中去看比值，比如说1/10,1/100,1/1000这样的微小量。
- 定量求解dM/dt
①微小量比值式的转换
将2t+dt拆解成2t*2dt；这个变换可以说是指数函数最重要的性质之一，将加法的思想（微小量）转换成乘法的思想（变化率和比率）
②提取公因式，将微小量比值式转换成两个分部相乘的形式。
这一步转换看起来似乎比较平常，也是顺应变化趋势的，但是其实蕴含着一个很重要的思想。
它将右边式子（关于dt求极限）变得与具体的时间t无关了，所有与确切时间t相关的因子都放在在式子的左边。
而关于右边这个式子的取值，虽然笔记还没有做到极限的内容，但是根据极限的思想和定义，我们都可以知道，右部最终是趋于一个常数的。
③得到最终的导数表达式
4. 形如y = ax的导数的一般式子
形如这样的函数（也即指数函数）的导数都等于自身的一定常数倍。
而常数的取值和a底数的数值有关。
#2 指数函数y=ex的重要性
引出e的原因？
——根据前文，我们知道ax的导数就等于其自身乘上某一常数，我们好奇是否存在某个底数a使得函数ax的导数就等于其自身，也就是常数为1.
- e的定义
- ex这样的指数函数，就满足我们的要求——其导数等于自身。
- 为什么呢？
——因为自然指数e就是这样的定义而来的。
- y=ex图像的理解
性质：该图像上任意一点的切线的斜率都等于这一点到横轴的距离。
3. y=ax导数式中常数的含义
①指数复合函数的链式求导法则
f(x) = e^cx^ f'(x) = ce^cx^
②以2x为例来理解导数中常数的意义
按照对数的定义可知2可以写成eln2
那么可以把一个一般的指数函数2x写成一个自然常数为底的复合指数函数
从而根据链式法则，推导出——
y=ax的导数中的常数为lna
#3 形如y=ect的指数函数
指数函数有很多可行的表达方式。
在日常生活或是实际应用中，我们往往会采取将指数函数写成y=ect的形式，因为这样c这个常数的意义可以一目了然。
- 在许多自然现象里，变化率都和变化量成正比
因此——可以建模成指数函数进行求解
后记
本文为观察《微积分的本质》B站公开课所做，如果问题欢迎评论或私信交流。
原视频链接
【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集