当前位置：首页 > news >正文

傅里叶变换究竟是什么玩意以及这些公式究竟是怎么来的第四章比较用正弦和复指数来表示频率

news 来源：原创 2024/5/9 4:07:03

首先我要声明一下，这一章可以看也可以不看，都无所谓！但最好看一下最后面给的一个结论和解释。

写这一章只是为了知识的完整性，尽管可能有些人会对这一章的某些概念产生疑问，在这里我会用最简单的方式去阐述复指数和正弦信号之间的关系。

考察我们之前分解的一个信号：

要注意的是，这里的分解是变为了正弦波分解，而没有在复指数域进行分解，我们把上面的分解转为指数域：

$\frac{1}{2i}\left \{ e^{jt}-e^{-jt} \right \}+\frac{1}{3} \frac{1}{2i}\left \{ e^{3jt}-e^{-3jt} \right \}+\frac{1}{5} \frac{1}{2i}\left \{ e^{5jt}-e^{-5jt} \right \}+\frac{1}{7} \frac{1}{2i}\left \{ e^{7jt}-e^{-7jt} \right \}$

注意这里的i代表幅值是复数。

现在出现了一个问题：有一个实数域的信号，可以分解为一堆正弦波相加，也可以分解为一堆复指数信号相加，那分解出来的这两中信号的形式之间有什么关系呢？

考察信号的共轭表示：

$x = a+bi ,$ x 的共轭 $x^{*}$ 就表示为 $x^{*}=a-bi$ 。

则可以知道实数的共轭是它本身。所以说: (公式如果懒得看可以直接看下面的结论)

$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jk\omega_{0}t}$ , $x(t)=x^{*}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a^{*}_{k}e^{-jk\omega_{0}t}$

用-k代替k,可以得到：

$x(t)=x^{*}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a^{*}_{-k}e^{jk\omega_{0}t}$

比较一下，我们就发现： $a_{k}=a_{-k}^{*}$ ，即它们互为共轭，联想一下之前我们所有的分解的信号，不都是符合这种形式吗？

同时，也就是说，

$a^{*}_{k}e^{-jk\omega_{0}t}$ 与 $a_{k}e^{jk\omega_{0}t}$ 也是互为共轭的。我们对x(t)再进行一些转化:

因为两个互为共轭的数相加等于其实数部分的两倍： $\left$ a+bi \right$+\left$ a-bi \right$=2a$ ,用Re{x(t)}代表x(t)的实数部分，则

$x(t)=a_{0}+ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2Re\left$ a_{k}e^{jk\omega_{0}t}\right$$

最后就得到了高数课本上通用的一个公式：

$x(t)=a_{0}+ 2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}A_{k}cos{ \left$ k\omega_{0}t+\theta_{k} \right$ }$ 要注意这里的 $A_{k}$ 不一定是实数。

最后提一句：其实不管分解成复指数还是指数，我们都应该明白，我们在意的是它的频域分量，也就是在每个频率的幅值的大小。因为分解为复指数以后，频率的幅值在k和-k上互为共轭，用模 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 表示它的幅值，如果分解出来的信号中，频率为 $k\omega_{0}$ 的信号， $a_{k}$ 可以表示为 $a+bi ,$ $a_{-k}$ 可以表示为 $a-bi$ ，则频率 $k\omega_{0}$ 在±k的地方的幅值是一样的。

因为以后我们所有的信号频率分解都是分解为复指数的形式，所以大家可以简单地理解为，该函数在频率为 $k\omega_{0}$ 的分量的系数是 $a_{k}$ 和 $a_{-k}$ ，它们的幅值是相等的，都代表了 $k\omega_{0}$ 频率的幅值（所以以后为了方便描述我们就直接拿系数 $a_{k}$ 代表 $k\omega_{0}$ 处的幅值了）。

说道这里，关于什么是频率的问题基本上已经说完了。我不得不说，这一章和上一章是傅里叶变换中最难理解的部分，所以大家如果还没有彻底弄明白也没有任何关系，后面的关于傅里叶变换的内容将会非常容易理解。如果你对上面的内容觉得复数域难以理解，那么我就给出一个更简单的解释：

我们求出来的复指数表示形式中，我们可以把每个频率在 $k\omega_{0}$ 和 $-k\omega_{0}$ 的复指数 $a_{k}e^{jk\omega_{0}t}$ 和 $a_{-k}e^{-jk\omega_{0}t}$ 合成为 $A_{k}cos{ \left$ k\omega_{0}t+\theta_{k} \right$ }$ ，于是这里的 $A_{k}$ 就是该信号的 $k\omega_{0}$ 频率的幅值。鉴于这种关系，我们就令模相同的 $a_{k}$ 和 $a_{-k}$ 作为信号在 $k\omega_{0}$ 处的幅值了。