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傅里叶变换究竟是什么玩意以及这些公式究竟是怎么来的第三章正弦信号的叠加

news 来源：原创 2024/5/9 7:24:57

在这之前，必须要重新提一句，为了方便表示，我们将使用复指数来代替正弦波，并用频率这个词来代指角频率。

现在我们已经知道了，信号分解成正弦信号以后，分解成的所有正弦信号的频率构成了整个信号的频率，我们称为这个信号的频谱，即是该信号在各个频率的幅值。如果一个信号分解成一堆正弦信号以后，其中一个分量是 12*sin(1000000 t)，那么这个信号在频率1000000的地方也有值，其值的大小为12。一个信号可能在很多频率的分量都有值，这些分量画在一个坐标轴上，就构成了频谱（即上一章的最后一张图）。

现在该说说公式了。

考虑一个信号，我们可以认为它是一堆正弦信号的叠加：

$x(t)=a_{1}e^{j\omega_{1} t}+a_{2}e^{j\omega_{2} t}+a_{3}e^{j\omega_{3} t}$

我们知道这个信号有三个频率分量，在频率ω1，ω2和ω3的地方有值。当有k个频率分量的时候，可以表示为：

$x(t) = \sum_{i=0}^{k}a_{i}e^{j\omega_{i} t}$

对于一个周期信号，我们知道 $x(t)=x(t+T)$ , T是周期信号的最小周期。于是我们令ω0=2π/T作为“基频率”，也就是说，其它频率都是这个基频率的倍数关系：

例如某个分解的信号频率：（借用一下前面的图）

它的基频率是1（是基频率，不是基频率的幅值），其它频率分别是基频率的3倍，5倍和7倍。

所以我们信号的分解可以重新表示为：

$x(t) = \sum_{k}a_{k}e^{jk\omega_{0} t}$

$a_{k}$ 就是每个频率的幅值。每个在上面的例子中， $a_{1}=1,a_{2}=0,a_{3}=\frac{1}{3},a_{4}=0$ ,以此类推。

我们知道，

也就是说在复数域中，我们不要管频率是不是负数，频率一定是正数，在这里就是ω。而上面式子中的k是可能小于0的。例如最简单的正弦信号 cos(t)：

$cos(t)=\frac{e^{jt}+e^{-jt}}{2}$

在频率为1的幅值为 $a_{1}=a_{-1}=1/2$ 。（再不厌其烦地说一句，用复数域表示信号的分解对以后的计算和理解有好处，为了理解公式，我们不能总是为了联系现实而拒绝使用复数域）。

所以这个时候，我们就可以把整个式子重新写一下了：

$x(t) = a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty} \left \{ {a_{k}e^{jk\omega_{0}t}+a_{-k}e^{-jk \omega_{0}t}} \right \}$

这个式子看似复杂，其实从刚才一点一点地讲过来，就会发现其实很简单，无非就是把x(t)变成了一堆正弦信号的叠加罢了

我们就不把上面那个式子搞成实数域的表示形式了，毕竟复指数和正弦都是可以相互转化的，所以用欧拉的公式自己转化就好了。以后我们再说正弦信号或者指数信号的时候，其实都是一样的，毕竟它们可以相互转化嘛！只是变成正弦信号的时候频率值是没有负值的，即 $cos(t)$ 的频率是1， $cos(t)=\frac{e^{jt}+e^{-jt}}{2}$ ，在复指数表示的频率也是1（频率不可能是负的），幅值都是1/2（这里就算有点疑问也没事，从今以后都会用复指数进行计算，用不到什么复指数和正弦信号的相互转化）。