8. 纯态、混合态

8.1 纯态

\qquad 量子系统的纯态$\text{(pure state)}$ 可以用 $\text{Hilbert}$ 空间的矢量 $|{\psi }_1⟩,|{\psi }_2⟩,\cdots$ 描述，且“多个纯态的叠加” $|\psi ⟩={\sum }_{i=1}^n{c}_i|{\psi }_i⟩$ 仍然是纯态。

$\divideontimes$ 凡是能用 $\text{Hilbert}$ 空间中的一个矢量 $|\psi ⟩$ 来描写的状态，都是纯态。

\qquad 例如 $n=2$ 时，纯态的叠加态 $|\psi ⟩=c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩$ 也是纯态。设物理量算符 $\hat{A}$ 的本征矢量为 $|a_i⟩$，相应的本征值为 $a_i$，则物理量 $A$ 取 $a_i$ 值的概率为：

$|⟨a_i|\psi ⟩{|}^2=|c_1⟨a_i|{\psi }_1⟩+c_2⟨a_i|{\psi }_2⟩{|}^2$

$\bullet$ 在坐标表象中，该纯态的态函数为 $\psi (x)=c_1{\psi }_1(x)+c_2{\psi }_2(x)$
$\bullet$ 在该纯态中，粒子处于 $x_0$ 点的概率为 $|\psi (x_0){|}^2=|c_1{\psi }_1(x_0)+c_2{\psi }_1(x_0){|}^2$，显然该纯态中的两个态 ${\psi }_1(x)$ 和 ${\psi }_2(x)$ 会发生干涉

\qquad 两个态形成纯态，是“相干叠加”，是“波函数（概率幅）的叠加”。在纯态中，$|{\psi }_1⟩$ 和 $|{\psi }_2⟩$ 两态的相干叠加形成了一个新的纯态（叠加态）。

$\bullet$ 如果在纯态 $|\psi ⟩=c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩$ 中，$|{\psi }_1⟩$ 和 $|{\psi }_2⟩$ 都是某个物理量算符 $\hat{A}$ 的本征矢量，本征值分别为 $a_1$ 和 $a_2$，则只能说明：在该纯态中，物理量 $A$ 取值为 $a_1$ 和 $a_2$ 的概率分别为 $|c_1{|}^2$ 和 $|c_2{|}^2$。
$\bullet$ 值得注意的是：
　(1) 但物理量 $A$ 取值为 $a_1$ 和 $a_2$ 的概率并不等于系统处于${\psi }_1(x)$ 态和 ${\psi }_2(x)$ 态的概率
　(2) 对于新的纯态 $|\psi ⟩$ 而言，系统就是处于 $|\psi ⟩$ 态，不存在“系统处于某个 $|{\psi }_i⟩$ 态的概率”的说法（混合态才有“以概率 $p_i$ 处于 $|\psi ⟩$ 态”的说法）

\qquad

8.2 混合态

\qquad 如果量子系统并不处在一个确定的态中，而是以一定的概率 $p_i$ 处于某个纯态 $|{\psi }_i⟩$ 中，称为混合态$\text{(mixed state)}$。

$\divideontimes$ 处于混合态的量子系统，无法用一个态矢量 $|\psi ⟩$ 来描写。

\qquad 例如 $n=2$ 时，处于混合态的量子系统只能表示为 $\{\begin{array}{l}|{\psi }_1⟩:p_1\\ |{\psi }_2⟩:p_2\end{array}$，该量子系统要么以概率 $p_1$ 处于纯态 $|{\psi }_1⟩$ 中，要么以概率 $p_2$ 处于纯态 $|{\psi }_2⟩$ 中。设物理量算符 $\hat{A}$ 的本征矢量为 $|a_i⟩$，相应的本征值为 $a_i$，则物理量 $A$ 取 $a_i$ 值的概率为：

$p_1|⟨a_i|{\psi }_1⟩{|}^2+p_2|⟨a_i|{\psi }_2⟩{|}^2$

$\bullet$ 在坐标表象中，该混合态的态函数为 $\{\begin{array}{l}{\psi }_1(x):p_1\\ {\psi }_2(x):p_2\end{array}$
$\bullet$ 在混合态中，粒子处于 $x_0$ 点的概率为 $p_1|{\psi }_1(x_0){|}^2+p_2|{\psi }_1(x_0){|}^2$
$\bullet$ 混合态中的两个态 ${\psi }_1(x)$ 和 ${\psi }_2(x)$ 不会发生干涉

\qquad 两个态形成混合态，是“非相干叠加”，是“概率的叠加”。在混合态中，系统以一定的概率处于 $|{\psi }_1⟩$ 态（当处于 $|{\psi }_1⟩$ 态时，系统具有 $|{\psi }_1⟩$ 态的全部性质），或者以一定的概率处于 $|{\psi }_2⟩$ 态（当处于 $|{\psi }_2⟩$ 态时，系统具有 $|{\psi }_2⟩$ 态的全部性质）。

\qquad

9. 密度算符

\qquad 纯态除了可以用态矢 $|\psi ⟩$ 描述之外，还可以用“密度算符$\text{(density operator)}$ ”来描述；
\qquad 混合态由于无法写成态矢 $|\psi ⟩$ 的形式，只能通过“密度算符”来描述；
\qquad 密度矩阵是密度算符在一个具体表象中的矩阵表示。

9.1 纯态的密度算符

\qquad 纯态的密度算符：$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$
\qquad
\qquad 例如，当 $n=2$ 时密度算符所对应的密度矩阵（密度矩阵元 ${\rho }_{ij}$ 不包含 $|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_j|$，故而显示成灰色以隐藏）为：

$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |\sim \left[\begin{array}{cc}{c}_1{c}_1^{\ast }|{\psi }_1⟩⟨{\psi }_1|& c_1{c}_2^{\ast }|{\psi }_1⟩⟨{\psi }_2|\\ & \\ c_2{c}_1^{\ast }|{\psi }_2⟩⟨{\psi }_1|& c_2{c}_2^{\ast }|{\psi }_2⟩⟨{\psi }_2|\end{array}\right](1)$

$\bullet$ 纯态的密度矩阵中包含了非对角元的相干项 $|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_j|,(i\ne j)$，并随时间发生衰减，导致相干性消退，也就是退相干$\text{(decoherence)}$
$\bullet$ 由“广义统计诠释”可知，若某个粒子处于 $|\psi ⟩$ 态，测量物理量 $A$ 时以概率 $|c_i{|}^2=c_i{c}_i^{\ast }$ 得到本征值 $a_i$，测量物理量后系统“坍缩”到本征态 $|{\psi }_i⟩$。

\qquad 也就是说，密度算符可以表示为：

$\{\begin{array}{l}|\psi ⟩=c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩\\ ⟨\psi |=c_1^{\ast }⟨{\psi }_1|+c_2^{\ast }⟨{\psi }_2|\end{array}$

$\begin{array}{rl}⟹\rho & =|\psi ⟩⟨\psi |\\ & =c_1{c}_1^{\ast }|{\psi }_1⟩⟨{\psi }_1|+c_1{c}_2^{\ast }|{\psi }_1⟩⟨{\psi }_2|+c_2{c}_1^{\ast }|{\psi }_2⟩⟨{\psi }_1|+c_2{c}_2^{\ast }|{\psi }_2⟩⟨{\psi }_2|\end{array}$

\qquad 若将密度算符写成上述的密度矩阵$(1)$的形式，则密度矩阵元就为：

${\rho }_{ij}=⟨{\psi }_i|\rho |{\psi }_j⟩$

例如，物理量 $A$ 在 $|\psi ⟩$ 态中取值为 $a_i$ 的概率可以表示为：
$|⟨a_i|\psi ⟩{|}^2=⟨a_i|\psi ⟩⟨\psi |a_i⟩=⟨{\psi }_i|\rho |{\psi }_i⟩=c_i{c}_i^{\ast }=|c_i{|}^2$

\qquad 因此，纯态既可以用态矢 $|\psi ⟩$ 描述，也可以通过对应的密度算符 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$ 来描述。

\qquad 纯态的密度算符有如下性质：

$(1)$ 满足“厄米性”：　${\rho }^{†}=\rho$

$(2)$ 满足“幺迹性”：　$\text{Tr}(\rho )=1$

$\text{Tr}(\rho )=\sum _{i=1}^n|c_i{|}^2=c_1{c}_1^{\ast }+c_2{c}_2^{\ast }+\cdots +c_n{c}_n^{\ast }=1$
　　　　或　 　$\text{Tr}(\rho )=\sum _{i=1}^n{\rho }_{ii}=\sum _{i=1}^n⟨{\psi }_i|\rho |{\psi }_i⟩=\sum _{i=1}^n⟨{\psi }_i|\psi ⟩⟨\psi |{\psi }_i⟩=\sum _{i=1}^n{c}_i^{\ast }{c}_i=1$
　　　　　　
$(3)$ 满足"幂等性"：　${\rho }^2=\rho$　以及　$\text{Tr}(\rho )=1$

${\rho }^2=|\psi ⟩⟨\psi |\psi ⟩⟨\psi |=|\psi ⟩⟨\psi |=\rho$
　　　　　　　　　　
　　　　及　　 $\text{Tr}({\rho }^2)=\text{Tr}(\rho )=1$
　　　　　　　
$(4)$ 在任意纯态 $|\psi ⟩$ 中，任意力学量算符 $\hat{A}$ 的平均值为：

$⟨A⟩=⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩=\text{Tr}(|\psi ⟩⟨\psi |\hat{A})=\text{Tr}(\rho \hat{A})$
　　　　或
$\begin{array}{rl}⟨A⟩=⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩& =⟨\psi |\hat{A}|\sum _i{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|\psi ⟩\\ & =\sum _i⟨{\psi }_i|\psi ⟩⟨\psi |\hat{A}|{\psi }_i⟩\\ & =\sum _i⟨{\psi }_i|\rho \hat{A}|{\psi }_i⟩\\ & =\text{Tr}(\rho \hat{A})\end{array}$

对于一维列向量 $|u⟩$ 和一维行向量 $⟨v|$，两个向量的内积满足 $⟨v|u⟩=\text{Tr}(|u⟩⟨v|)$
态矢 $|\psi ⟩$ 可看成是一维列向量，$⟨\psi |\hat{A}$ 可看成是一维行向量，因此 $⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩=\text{Tr}(|\psi ⟩⟨\psi |\hat{A})$

\qquad

9.2 混合态的密度算符

\qquad 混合态的密度算符： ${\rho }_{ms}=\sum _{i=1}^n{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$

\qquad 例如，当 $n=2$ 时密度算符所对应的密度矩阵（密度矩阵元 ${\rho }_{ii}$ 不包含 $|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$，故而显示成灰色以隐藏）为：

${\rho }_{ms}=\sum _{i=1}^2{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|\sim \left[\begin{array}{cc}{p}_1|{\psi }_1⟩⟨{\psi }_1|& 0\\ & \\ 0& p_2|{\psi }_2⟩⟨{\psi }_2|\end{array}\right]$

$\bullet$ 混合态中没有 $i\ne j$ 的非对角元的相干项 $|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_j|$
$\bullet$ $p_i$ 表示纯态 $|{\psi }_i⟩$ 在混合态中出现的概率
$\bullet$ 对角元的概率满足概率归一化：$\text{Tr}({\rho }_{ms})={\sum }_i{p}_i=1$
$\bullet$ 不满足"幂等性"：${\rho }_{ms}^2\ne {\rho }_{ms}$

\qquad 混合态的密度算符有如下性质：

$(1)$ 满足“厄米性”：　　${\rho }^{†}=\rho$

$(2)$ 满足“幺迹性”：　　$\text{Tr}({\rho }_{ms})=\sum _{i=1}^n{p}_i=1$

$(3)$ 不满足"幂等性"：　${\rho }_{ms}^2\ne {\rho }_{ms}$　以及　$\text{Tr}({\rho }_{ms}^2)<1$

$\begin{array}{rl}{\rho }_{ms}^2={\rho }_{ms}{\rho }_{ms}^{\prime }& =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|\sum _j{p}_j|{\psi }_j⟩⟨{\psi }_j|\\ & =\sum _{i,j}{p}_i{p}_j|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|{\psi }_j⟩⟨{\psi }_j|\\ & =\sum _{i,j}{p}_i{p}_j|{\psi }_i⟩{\delta }_{ij}⟨{\psi }_j|\\ & =\sum _i{p}_i^2|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|<\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|={\rho }_{ms}\end{array}$
$⟹\text{Tr}({\rho }_{ms}^2)={\sum }_i{p}_i^2<{\sum }_i{p}_i=1$

$(4)$ 在任意混合态 ${\rho }_{ms}$ 中，任意力学量算符 $\hat{A}$ 的平均值为：

$\begin{array}{rl}⟨A⟩& =\text{Tr}({\rho }_{ms}\hat{A})\\ & =\text{Tr}\left(\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|\hat{A}\right)\\ & =\sum _i{p}_i\text{Tr}\left(|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|\hat{A}\right)\\ & =\sum _i{p}_i⟨{\psi }_i|\hat{A}|{\psi }_i⟩\\ & =\sum _i{p}_i⟨\hat{A}{⟩}_i\end{array}$

\qquad

10. 复合系统、约化密度算符

\qquad 复合系统（多体系统）是由多个子系统构成的系统。

例如，由子系统 $A$ 和 子系统 $B$ 组成的复合系统，就是“两体系统”。

\qquad 以两体系统为例，设系统 $A$ 和系统 $B$ 的状态分别用态矢表示为 $|{\psi }_A⟩$ 和 $|{\psi }_B⟩$，由子系统 $A$ 和子系统 $B$ 所组成的“两体系统”的态矢表示为 $|{\psi }_{AB}⟩$，可定义出“直积态”（也称“可分态”）和“纠缠态”（也称“不可分态”）:
$(1)$ 直积态 —— 如果 $|{\psi }_{AB}⟩=|{\psi }_A⟩\otimes |{\psi }_B⟩\equiv |{\psi }_A⟩|{\psi }_B⟩$
$(2)$ 纠缠态 —— 如果 $|{\psi }_{AB}⟩\ne |{\psi }_A⟩|{\psi }_B⟩$

\qquad

\qquad 假设“由子系统 $A$ 和 子系统 $B$ 组成的复合系统”的状态可以由密度算符 $\rho$ 描述，${\hat{O}}_A$ 是子系统 $A$ 的力学量算符，则 ${\hat{O}}_A$ 在状态 $\rho$ 中的平均值为：

$\begin{array}{rl}⟨O_A⟩& =\text{Tr}(\rho {\hat{O}}_A)\\ & =\sum _{A^{\prime },B^{\prime }}⟨{\psi }_A^{\prime },{\psi }_B^{\prime }|\rho {\hat{O}}_A|{\psi }_A^{\prime },{\psi }_B^{\prime }⟩\\ & =\sum _{A^{\prime }}⟨{\psi }_A^{\prime }|\sum _{B^{\prime }}⟨{\psi }_B^{\prime }|\rho |{\psi }_B^{\prime }⟩{\hat{O}}_A|{\psi }_A^{\prime }⟩\\ & =\sum _{A^{\prime }}⟨{\psi }_A^{\prime }|{\text{Tr}}_B(\rho ){\hat{O}}_A|{\psi }_A^{\prime }⟩,令{\rho }_A={\text{Tr}}_B(\rho )\\ & ={\text{Tr}}_A({\rho }_A{\hat{O}}_A)\end{array}$

\qquad 此处，${\rho }_A={\text{Tr}}_B(\rho )$ 成为子系统 $A$ 的约化密度算符。

(未完)