单调有界定理适用于函数吗_实数系的连续性定理
我们对数的认识大致经历了自然数——整数——有理数——实数这样一个过程。在今天的搞高等数学教材中所研究的函数都是在实数的范围内，极限理论也是建立在实数系的连续性基础之上。而实际上在很长的一段历史时期内，人们对实数的认识一直都比较模糊。一直到柯西，戴德金，康托尔等人的发展下实数理论才得以完善。下面我们来看看实数系的基本定理。（也叫完备性或连续性定理）这几个定理是等价的。
一.确界存在原理：非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。
对于R中的一个数集S，若存在数M(L)，使得对一切
确界：最小上界或最大下界称为上下确界。记为
证明：
PS： 我们知道1=0.999999...，所以
也就是说同一个小数有两种表示方法，在这里我们采用前者，此时，小数的表示是唯一确定的。
设
我们现在要证明
我们把
然后在
至此，我们得到了一个数
现在我们来证明
只需要证两件事（1）它是上界；（2）它是最小上界。
令
（1）
所以
（2）要证明
我们取
取
则
因此，我们从数集非空有上界推出了有上确界，同理可证有下界必有下确界。
二.单调有界收敛原理：数列单调+有界必定收敛。
说明：这里的有界不一定是同时有上下界，而是相对于单调来说的，我们从直观来看，如果数列单调递增，则有上界能保证收敛；如果单调递减，则需要有下界来保证收敛。、
证明：设
由于
又因为
同理可证单调递减有下界必定收敛。
三.闭区间套定理（Cantor准则）。
我们先来看一下什么叫闭区间套。
设闭区间列
（1）
（2）
定理：若
证明：从定义来看，闭区间套应该有下面的性质：
所以
下面证明唯一性：假设另外一数
取极限，得
四.Bolzano-Weierstrass定理（致密性定理）：有界数列必有收敛子列。
说明：从之前第二个定理看出，有界+单调的条件方能推出数列收敛，而只有有界的情况下，则没有那么强的结论，只能得到稍微弱一些结论。
证明：设
现在将
... ... ,一直做下去，我们得到一个闭区间套
现证明
在
从而得到子列
故定理得证。
五.柯西收敛准则
定理：
基本列：
证明 ：（1）设
两式相加，可得
(2).先证明
取
即：
对于
记
因为
故
结语：上述五个定理统称为实数系的连续性定理，是数学分析学习过程中必须掌握的实数理论的基本定理。这几个定理都描述了实数系是连续的，不可列的。除此之外，实数系基本定理还有戴德金切割定理，聚点定理（也可归为之密性定理），定理内容及证明放在以后给出。从任何一个定理出发都能够推出其他几个定理，他们是极限论的基础，进而也是微积分的基础。