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剑指Offer系列（java版，详细解析）47.礼物的最大价值

news 来源：原创 2024/4/29 22:31:47

题目描述

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

0 < grid.length <= 200
0 < grid[0].length <= 200

测试用例

功能测试（多行多列的矩阵；一行或者一列的矩阵；只有一个数字的矩阵）
特殊输入测试（指向矩阵数组的指针为空指针）

题目考点

考察应聘者用动态规划分析问题的能力。
考察应聘者对递归及时间效率的理解。需要我们利用动态规划来减少重复计算。

解题思路

首先我们要找出递归式：

f(i,j) = max(f(i-1,j),f(i,j-1)) + gift[i,j]

所以我们可能会马上用递归做出来（见自己解题），但是这种方法会有大量的重复计算，导致递归的代码不是最优的，所以我们考虑用动态规划（循环）来做。

我们需要一个二维数组，数组中坐标为(i,j)的元素表示到达坐标(i,j)的格子时能拿到的礼物价值总和的最大值。

代码见参考解题。

参考解题

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length;
        for(int j = 1; j < n; j++) // 初始化第一行
            grid[0][j] += grid[0][j - 1];
        for(int i = 1; i < m; i++) // 初始化第一列
            grid[i][0] += grid[i - 1][0];
        for(int i = 1; i < m; i++)
            for(int j = 1; j < n; j++) 
                grid[i][j] += Math.max(grid[i][j - 1], grid[i - 1][j]);
        return grid[m - 1][n - 1];
    }
}

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int row = grid.length;
        int column = grid[0].length;
        //dp[i][j]表示从grid[0][0]到grid[i - 1][j - 1]时的最大价值
        int[][] dp = new int[row + 1][column + 1];
        for (int i = 1; i <= row; i++) {
            for (int j = 1; j <= column; j++) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
            }
        }
        return dp[row][column];
    }
}