排队论仿真软件_LINGO 实现M / M / s / s 损失制排队模型
M / M / s / s 损失制排队模型
之前我们讲到M / M /s 等待制排队模型，今天我们讲讲M / M / s / s 损失制排队模型——当s 个服务台被占用后，顾客自动离去。
这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
1、损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如下指标。
(1)系统损失的概率
其中 rho 是系统到达负荷λ/μ，
s 是服务台或服务员的个数。
(2)单位时间内平均进入系统的顾客数
(3)系统的相对通过能力(Q )与绝对通过能力(A )
(4)系统在单位时间内占用服务台(或服务员)的均值(即Ls)
注意：
在损失制排队系统中，Lq = 0 ，即等待队长为 0。
(5)系统服务台(或服务员)的效率
(6)顾客在系统内平均逗留时间(即Ws)
注意：
在损失制排队系统中，Wq = 0 ，即等待时间为 0。
在上述公式中，引入λe 是十分重要的，因为尽管顾客以平均λ 的速率到达服务系统，但当系统被占满后，有一部分顾客会自动离去，因此，真正进入系统的顾客输入率是λe ，它小于λ 。
2、 损失制排队模型计算实例
s =1的情况(M / M /1/1)
例
设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min，求系统相应的参数指标。
解
其参数为 S＝1，λ = 0.6，μ =1/1.2.
编写 LINGO 程序如下：
model:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
s >1的情况(M / M / s / s )
例
某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
解
(1)电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
第二类是外线打内线，其强度为
因此，总强度为
λ=λ₁+λ₂=140+60=200
(2)这是损失制服务系统，按题目要求，系统损失的概率不能超过5％，即 Plost≤0.05
(3)外线是整数，在满足条件下，条数越小越好。由上述三条，
相应的LINGO程序如下：
model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);Plost<0.05;
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
end
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划(尽管是一维的)，但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给 出的是实数解。
编写LINGO程序：
model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
@pel(rho,s)=0.05;
end
求得s =14.33555。
第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数(采用只入不舍 原则)就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。
编写LINGO程序如下：
model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15;Plost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算时间上要少许多。
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排队论之等待排队模型
• END •
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