【微积分的本质|笔记】有关导数
P2——导数的悖论
目标：①理解导数的意义 ②规避导数定义中的矛盾描述
- 问题情境
有关于车辆行驶的实际问题探讨
①小车从A点驶向B点，一共花费10秒时间。
②距离(位移)-时间曲线
建立一个平面直角坐标系，以时间的变化作为横轴，以小车移动的距离作为纵轴，进行图像绘制。
- 距离曲线的平缓或陡峭程度就表示了小车运动的快慢变化。
③速度-时间曲线
- 当改变了位移-时间曲线，速度-时间曲线也会相应发生变化。
- 研究导数（微积分），就是要探讨速度的大小是怎样随着距离-时间函数的变化而变化的。
- 悖论探讨
①有关“速度”的定义和直观印象
- 在现实情境中，车子行驶的速度最直观地显示在车速仪表盘上。
- 在距离-时间曲线上，如果车子行驶的速度越快，那么距离曲线就应该更陡峭，因为单位时间内走过的距离会更多。
②瞬时概念的悖论
不论是速度-时间曲线，还是平时我们经常挂在嘴边的“瞬时速度”，亦或是导数的物理意义“瞬时变化率”，我们发现瞬时这个概念出现得十分频繁。
但就“瞬时速度”这个概念来讲，只是观察某一片刻是无法得出运动的速度，因为按照速度的定义，我们必须在某一个时间区间内去比较、计量物体运动的距离，哪怕这个区间很小，但也必须存在。
- 速度的本质——单位时间内运动的距离
③悖论的解决
a. 实际生活——车速仪表盘的显示
既然仪表盘上的速度是在实时变化的，那它是怎么测量车子的“瞬时”速度的呢？
也是通过在一段极小的时间区间内去测量车子运动的距离，通过距离和时间变化的比值来计算得到车子“某一刻”的速度。
- 本质来说，用“计算非常小的一段时间内的速度”这个可行的操作，来替代“计算某一点的速度”这个不可行的方案。
b. 数学表示——速度-时间曲线的理解
- 将前文中某一段极小的时间变化称作dt，相应的距离变化称作ds，那么根据前文，可知某一时间t的瞬时速度，就可以用ds/dt来进行计算。
而这个t的取值是可以任意的，从而就得到了这个比值关于任意点t的值，从而得到了速度函数。
- 求导的定义
①形式化的描述：因变量的微小变化量/自变量的微小变化量
e.g. ds/st = v
②数学中的定义
- 尽管在上面的定义中，无论是车速边，还是计算速度曲线，都需要实际取一个微小的区间（变化量）
- 但是在数学中，关于求导的定义，需要这个微小量，是一个无限逼近于0的微小量。
③用几何意义辅助理解
- 需要取一个实际的微小量的计算过程，相当于是在求曲线割线的斜率。但是为了能够更好地近似某一个瞬时值，这个区间会取得十分小，割线斜率近似为切线斜率，但是本质仍是在求解割线斜率。
- 但是数学中导数的几何意义，明确而又标准，就是求解曲线上某一点切线的斜率。
trick：通过将某一点引入一个有限小且逼近0的区间量，使得某一个点的瞬时变化率有了意义。
- 规避陷阱的语言描述
求切线的理解
“求某一点瞬时的变化率”--------×
“求某一点附近的变化率的最佳近似”-------√
【实际问题探讨】在t=0的时候车子在移动吗？
错误的根本——在于潜意识依然把导数和“测量瞬时变化”打上了等号
p.s.笔者在看到这一块的时候，脑子里像是突然有亮光闪过一样，之后再讲起导数，我们都应该说——“导数是对某一点附近变化率的近似测量”
描述：如果根据速度曲线，可知在t=0的时候，速度应该是为0，那就说明此时汽车没有移动。那么汽车应该是什么时候开始移动的呢？
解决：但实际上，如果能立足“某一点的导数只是某点附近一段时间内的变化率的近似，那么就可知道t=0的时候导数为0，只能说明，此刻的运动速度近似于匀速的0。
P3——用几何来求导
前一章节中，我们了解到了导数的意义和导数与变化率之间的关系。
在这一章节中，我们要学会怎么计算确定的导数值、
- 本质与原则
原则：不论是在学校的教学过程中，还是实际问题的求解过程中，我们往往都会把问题抽象成若干个常见抽象函数的组合。
这样看起来，记住和理解一般的抽象函数的导数是至关重要的。
本质：但我们学习微积分的核心并不在于被公式困住。
“微小变化量才是导数的本质”，任何时候都要记住。
- 实例分析——计算f(x) = x^2的导数
（1）从图像的角度
前文已讲述过，计算某一点的导数就相当于计算曲线上某一点的切线斜率。定性来分析，直到从原点向右移动，切线会越来越陡峭，但我们无法得到精准的函数表示。
（2）从几何角度
将x2这个函数式具象成一个边长为x的正方形的面积表达。
根据上图，将原来的绿色正方形的边长增加一个dx，所得到的面积的增量的表达df=2xdx+(dx)2，因为实际在运算的时候dx是一个非常小的有限量，那么(dx)2就是一个更加小，到可以忽略的变化量。
最终就得到相应的表达式
- 实例分析——计算f(x) = x3的导数
（1）几何理解：将一个棱长为x的立方体的棱长增加dx的厚度，所得到的体积的增量/dx就为所需求解的导数值。
（2）推导：大部分的面积其实集中在三个面上增加的部分，棱上和角上增加的体积数值在dx很小的时候小到忽略不计。
【幂函数的求导公式】
在实际求解过程中，不需要每次都想象出一个几何体来进行导数值的推导，幂函数的求导式遵循良好的规律。
- 该幂函数求导公式可以同样适用于n=4,5,…等更高阶的情况的原因——
除了可以忽略的部分，函数值的增加量全部来源于n个xn-1*dx的部分
- 实例分析——计算f(x) = 1/x的导数值
（1）法一：套用幂函数的求导公式，1/x可以看成是x-1
（2）法二：利用导数的定义式，用df/dx来计算
（3）法三：等面积法，从1/x的几何解释来出发
1/x这个函数本质上是要在曲线下维持一个面积总和为1的不变性，当一个矩形的长增加了，那么其高就要相应减少，目的就是为了维持总和为1进行不变。
根据上图，当矩形的长增加了一个dx,那么其高就要减少一个d(1/x)。
红色的面积是减少了的面积，绿色的面积是增加了的面积，因为要维持面积的综合保持不变，所以红绿两色的面积应该是一致的。
xd(1/x) = dx(1/x)↔dx = 1/(x2)
- 实例分析——为什么正弦函数的导数是余弦函数
（1）法一：通过正弦函数的曲线，观察其切线走向，很像余弦。
（2）通过单位圆，进行更加严密的推导。
①要明确在单位圆中什么元素可以表示sinθ：如果以x轴和另一条边之间的夹角为θ，那么该边和单位圆的交点向x轴做的垂线就代表sinθ。
②dθ和d(sinθ)的推导：角度发生了变化，那么边就会有偏移，放大圆弧上的一段，因为dθ很小，所以可以近似看成是一段直线上的一个变化。（如上图中放大的部分所示）
根据几何的推导，可以大小两个直角三角形是相似的，则d(sinθ)/dθ在小三角形中就是余弦的定义式。
