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NR 物理层编码 - slide4 循环码Cyclic Code

news 来源：原创 2024/5/6 20:20:54

前言：

线性码，循环码系列一般参考国内的教材都差不多.这边以海外的一个

知名博主,eigen chris的《Cyclic codes-Polynomial Properties》,一种非常

新颖的视角去阐述码多项式，我们也可以通过它去深刻理解我们的编码本质

低纬度的空间到高纬度空间的映射，这个跟机器学习分类原理非常相似。

vaild codeword(蓝色点,前面许可集概念一样）

参考：

eigen chris的《Cyclic codes-Polynomial Properties》

10.循环码-系统结构循环码_哔哩哔哩_bilibili

系统结构循环码和循环码
循环码生成和监督矩阵
多项式

一系统结构循环码和循环码

给定生成多项式 $g(x)$ ,循环码有两种形式:系统结构和非系统结构

1：非系统结构

$c(x)=u(x)g(x)$

2: 系统结构

$c_s(x)=x^{n-k}u(x)+p(x)$

其中

$p(x)=mod:\frac{x^{n-k}u(x)}{g(x)}$

例（7,4）循环码 , $g(x)=x^3+x^2+1,u=[1100]$

求循环码,系统结构循环码

解： $u(x)=x^3+x^2$

循环码：

$c(x)=u(x)g(x)=(x^3+x^2)(x^3+x^2+1)$

$=x^6+x^4+x^3+x^2$

系统结构循环码

$n=7,k=4,n-k=3$

$I(x)=x^{n-k}u(x)=x^6+x^5$

$p(x)=\frac{x^6+x^5}{x^3+x^2+1}$

$=x^2+1$

$c_s(x)=I(x)+p(x)=x^6+x^5+x^2+1$

二循环码生成和监督矩阵

循环码生成矩阵形式如下:

$G(x)=\begin{bmatrix} x^{n-1}+p_{k-1}(x)\\ x^{n-2}+p_{k-2}(x) \\ .... \\ x^{n-k+1}+p_{1}(x) \\ x^{n-k}+p_{0}(x) \end{bmatrix}$

其中最重要的是求 $P_i(x)$

$\frac{x^{n-k}A_i(x)}{g(x)}=Q_i(x)+\frac{P_i(x)}{g(x)}$

$i=[k-1,k-2,...0]$

$A_i(x)=x^i$

系统生成矩阵

$H=[P_{k,n-k}^T|I_{n-k}]$

证明：

前面知道

$c_s(x)=u(x)x^{n-k}+p(x)$

$p(x)=\frac{u(x)x^{n-k}}{g(x)}$ 余数保证任何时候生成的循环码码对生成多项式的余数为0）

设 $A_i(x)=x^{i}$

$u(x)=\sum\begin{bmatrix} a_{k-1}A_{k-1}(x)\\ a_{k-2}A^{k-2}(x) \\ ... \\ a_{0}A_{0}(x) \end{bmatrix}$ $=[a_{k-1},a_{k-2},...a_0]\begin{bmatrix} A_{k-1}(x)\\ A_{k-2}(x) \\ ... \\ A_0(x) \end{bmatrix}$

因为 $\frac{x^{n-k}A_i(x)}{g(x)}=Q_i(x)+\frac{P_i(x)}{g(x)}$ $i\in[k-1,k-2,..0]$

其中 $x^{n-k}A_{i}(x)=x^{j}, j\in\begin{bmatrix} n-1 &.... & n-k \end{bmatrix}$

$c_s(x)=a_{k-1}[x^{n-k}A_{k-1}+p_{k-1}(x)]+a_{k-2}[x^{n-k}A_{k-2}+p_{k-2}(x)]+..+a_0[x^{n-k}A_{0}(x)+P_{0}(x)]$

$=[a_{k-1},a_{k-2},...a_0]\begin{bmatrix} x^{n-k}A_{k-1}(x)+p_{k-1}\\ x^{n-k}A_{k-2}(x)+p_{k-2} \\ .... \\ x^{n-k}A_{0}(x)+p_{0} \end{bmatrix}$

$=[a_{k-1},a_{k-2},...a_0]\begin{bmatrix} x^{n-1}+p_{k-1}\\ x^{n-k}+p_{k-2} \\ .... \\ x^{n-k}+p_{0} \end{bmatrix}$

例： $g(x)=x^3+x^2+1$ 的系统循环码（7,4）生成矩阵和监督矩阵H

解：

$n=7,k=4,n-k=3$

$\frac{x^{n-k}A_i(x)}{g(x)}=Q(x)+\frac{p_i(x)}{g(x)}$ $i \in [k-1,k-2,..0]$

$\left\{\begin{matrix} p_0(x)\equiv \frac{x^3}{g(x)}=x^2+1\\ p_1(x)\equiv \frac{x^4}{g(x)}=x^2+x+1\\ p_2(x)\equiv \frac{x^5}{g(x)}=x+1 \\ p_3(x)\equiv \frac{x^6}{g(x)}=x^2+x \end{matrix}\right.$ （除号结果为取模运算）