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对角分块矩阵

news 来源：原创 2024/5/18 17:38:30

这个词是我自己发明的，就是形如

\begin{vmatrix} A &0 \\ 0& B \end{vmatrix}或\begin{vmatrix} 0 & A\\ B & 0 \end{vmatrix}

的矩阵，其中A，B分别为m和n阶方程

1.求逆矩阵

\begin{vmatrix} A &0 \\ 0& B \end{vmatrix}的逆矩阵为\begin{vmatrix} A^{-1} & 0\\ 0 & B^{-1} \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 0 & A\\ B & 0 \end{vmatrix}的逆矩阵为\begin{vmatrix} 0&B^{-1} \\ A^{-1}& 0 \end{vmatrix}

2.求值

通过拉普拉斯展开式求

\begin{vmatrix} A&* \\ 0& B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&0 \\ * &B \end{vmatrix} =|A|\cdot |B|

*代表任何方阵，包括0矩阵

\begin{vmatrix} *&A \\ B& 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0&A \\ B &* \end{vmatrix} =(-1)^{nm}|A|\cdot |B|

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